777-service.ru

Антифеодальный портал 777-service.ru

Матричная квантовая механика
   Квантовая механика

Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Матричная механика — математический формализм квантовой механики, разработанный Вернером Гайзенберга , Максом Борном и Паскуалем Иорданом в 1925 году. Матричная механика была первой независимой и последовательной квантовой теорией. Она развивает идеи теории Бора, в частности отвечает на вопрос, как происходят квантовые скачки. Основная идея матричной механики заключается в том, что физические величины, характеризующие частицу, описываются матрицами, изменяющимися во времени. Такой подход вполне эквивалентный волновой механике Эрвина Шредингера и является основой для бра-кет нотации Дирака для волновой функции.

Математический аппарат

В матричное механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантовомеханической системы задается вектором состояния: конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел

,

а каждой физической величине A, которую можно наблюдать в эсперименте соответствует определенная матрица

 A = \left( \begin{matrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \ldots & a_{nn} & \ldots \\  
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{matrix} \right)

Реальным физическим величинам соответствуют самоспряженные матрицы, для которых

.

Комплексные величины задают амплитуду вероятности того, что квантовомеханическая система находится в состоянии n. Диагональные элементы матрицы A соответствуют значениям физической величины, когда она находится в определенном состоянии, а недиагональные элементы описывают вероятность переходов системы из одного состояния в другое.

Особое место занимает матрица энергии H.


Уравнение движения

Матрица, которая описывает физическую величину, удовлетворяет уравнению движения

,

где частная производная задает явную зависимость физической величины от времени, а квадратные скобки означают коммутатор матриц A и H. В этой формуле i — мнимая единица  —приведена постоянная Планка. Если матрица A известна в начальный момент времени, то, решая данное уравнение, можно определить ее в любой момент времени.

Эквивалентность матричной механики и волновой механики

Как показал Джон фон Нейман, матричная механика полностью эквивалентна волновой механике Шредингера. Эквивалентность вытекает из того, что в волновую функцию можно разложить в ряд, используя определенный ортонормированной базис функций :

.

Коэффициенты этого разложения задают вектор состояния.

Матрица, которая соответствует определенной физической величине A задается матричными элементами оператора

.

Учитывая эквивалентность формулировок, в современной квантовой механике матричный подход используется на равных с описанием с помощью волновых функций.


Матричная квантовая механика.