777-service.ru

Антифеодальный портал 777-service.ru

Полугруппа операторов
Перейти к: навигация, поиск

Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов возникла в середине 20-го века в работах таких известных математиков, как Э.Хилле, Р.Филиппса, К.Иосиды, В.Феллера. Основные применения этой теории: абстрактные задачи Коши, параболические уравнения, случайные процессы.

Содержание

Определение

Пусть — банахово пространство. Полугруппой операторов в пространстве называется семейство ограниченных операторов , , удовлетворяющее следующим свойствам:

1) , где умножение операторов есть композиция этих отображений.

2) , где есть единичный оператор в пространстве .

Из определения полугруппы следует, что для любой полугруппы существуют такие константы , что


\|T_t\|\le Me^{\alpha t}.

Генератор полугруппы

Центральным понятием в теории полугрупп операторов является понятие генератора полугруппы. Генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы называется оператор

где область определения определяется как множество таких элементов, что данный предел существует. Генератор полугруппы есть линейный, вообще говоря, неограниченный оператор. Если полугруппа обладает определенной гладкостью, то область определения генератора является плотной в , а сам генератор есть замкнутый оператор. С другой стороны не каждый замкнутый, плотно определенный оператор является генератором полугруппы. Генератор однозначно определяется по полугруппе и генератор однозначно определяет полугруппу.

Виды полугрупп

В зависимости от гладкости по параметру рассматриваются различные виды полугрупп.

Полугруппа называется равномернонепрерывной, если выполнено следующее условие:


\lim\limits_{t\to s}\|T_t-T_s\|=0,

где предел понимается в смысле операторной топологии.

Полугруппа называется -полугруппой или сильно непрерывной полугруппой, если выполнено условие:


\lim\limits_{t\to s}\|T_t\varphi-T_s\varphi\|_X=0,

для любого фиксированного элемента .

Большую роль в приложениях играют сжимающие полугруппы. Сильно непрерывная полугруппа называется сжимающей если выполнено следующее условие:


\|T_t\|\le1.

Сильно непрерывная полугруппа называется аналитической полугруппой, если она может быть аналитически продолжена в некоторый сектор


\Delta_\delta=\{\lambda\in C:|arg \lambda|<\delta, Re\lambda>0\},\quad 0<\delta\le\pi/2,

таким образом, что непрерывна в .

Критерии для генераторов полугрупп

Линейный оператор в пространстве порождает равномерно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда является ограниченным оператором. От сюда следует, что в конечномерных пространствах все полугруппы являются равномерно непрерывными.

Критерием для генератора сильно непрерывной полугруппы является следующая теорема.

Теорема. Линейный оператор является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) Оператор замкнутый.

2) Область опеределения плотно в .

3) Существует такое , что все числа являются резольвентными для оператора .

4) Существует такая константа , что для всех выполнено неравенство


\|(\lambda I-A)^{-k}\|\le\frac{c_1}{(\lambda-\lambda_0)^k},\quad k=1,2,....

Если вместо условия 4) выполнено условие


\|\lambda I-A\|\le\frac{1}{\lambda-\lambda_0},
то оператор также будет генератором сильно непрерывной полугруппой. В случае мы получаем известную теоремы Хилле-Иосиды

Теорема (Хилле-Иосиды). Линейный оператор является генератором сжимающей полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) Оператор замкнутый.

2) Область опеределения плотно в .

3) Все числа являются резольвентными для оператора .

4) Для всех выполнено неравенство


\|\lambda I-A\|\le\frac{1}{\lambda},

Для того, чтобы генератор сильно непрерывной полугруппы был генератором аналитической полугруппы необходимо потребовать значительно больших условий на спектр оператора .

Оператор является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существуют числа и , что множество свободно от спектра оператора и выполнено неравенство


\|(\lambda I-A)^{-1}\|\le\frac{c_2}{|\lambda|},\quad \lambda\in\Omega_{q,\omega},
где константа не зависит от .

Еще одно эквивалентный критерий для генератора аналитической полугруппы - генератор сильно непрерывной полугруппы является генератором аналитической полугруппы, если


\|tAT_t\varphi\|_X\le C,\quad \varphi\in X,\ t>0,

где - константа, независящая от .

Литература

  • Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
  • Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.
  • Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. - М.: ИЛ, 1962.
  • Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
  • Р.В. Шамин. Полугруппы операторов. М.: РУДН, 2008. - 205 с.

Полугруппа операторов.