777-service.ru

Антифеодальный портал 777-service.ru

Уравнение Паули

Уравнение Паули — уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено Паули в 1927 году.

Уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента импульса — спина. Частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось z. В соответствии с этим волновая функция частицы (где r — координата частицы, t — время) является двухкомпонентной:


\psi (r,t)=\begin{pmatrix}
\psi_1 (r,t)\\
\psi_2 (r,t)
\end{pmatrix}.

При поворотах координатных осей и преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение и имеет вид

Операторы физических величин являются матрицами 2х2, которые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице.

В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом обладает и магнитным моментом, пропорциональным : (g-гиромагнитное отношение). Для орбитального момента , где e — заряд, m — масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: . Во внешнем магнитном поле напряжённости магнитный момент обладает потенциальной энергией , добавление которой в гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле с потенциалами и A приводит к уравнению Паули:

где  — оператор импульса,  — единичный оператор, а пропорционален оператору спина: .

Предложенное первоначально на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряжённость внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации её спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид , где  — скалярная функция, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера, а спинор 
\chi=
\begin{pmatrix}
\chi_1\\
\chi_2
\end{pmatrix}
удовлетворяет уравнению

Из этого уравнения следует, что среднее значение спина прецессирует вокруг направления магнитного поля:

Здесь  — циклотронная частота,  — единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света.

Литература

  • Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики. 5-е изд. М.: Наука, 1976. - 664с. Параграф 62.
  • А. С. Давыдов, Квантовая механика. 2-е изд. М.: Наука, 1973. - 704с. Параграф 63.
  • В. Паули, Общие принципы волновой механики. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 332с.
  • Берестецкий, В. Б., Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с. — («Теоретическая физика», том IV). — ISBN 5-9221-0058-0
  • Физическая энциклопедия /Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.

См. также


Уравнение Паули.