777-service.ru

Антифеодальный портал 777-service.ru

Формула Планка

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения :

Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. Для вывода формулы Планк в 1900 году сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:


\varepsilon = \hbar \omega.

Коэффициент пропорциональности впоследствии назвали постоянной Планка, = 1.054 · 10−27 эрг·с.

Содержание

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Выражение для средней энергии колебания с частотой ω дается выражением:


        \overline{\varepsilon} = \frac{\hbar \omega}
                                      {\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}, \qquad\qquad (1)

где — постоянная Планка, — постоянная Больцмана.


Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:


        \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3}   \qquad\qquad (2)

Переход к формулам Рэлея—Джинса.

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до . При малых частотах (больших длинах волн), когда можно разложить экспоненту по . В результате получим, что , тогда (3) и (4) переходят в формулу Рэлея—Джинса.


        u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} 
и

        f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2}

Переход к закону Стефана — Больцмана.

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:


        R= \int_0^{\infty} f(\omega,T)\mathrm{d} \omega 
         = \int_0^{\infty} \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^2 c^2} 
                                \cdot \frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}

Введём переменную , тогда , , получим


        R= \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \cdot \left( \frac{kT}{\hbar} \right)^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}^x -1}.

Полученный интеграл имеет точное значение: , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:


        R= \frac{\pi^2 k^4}{60 c^2 \hbar^3}T^4 = \sigma T^4

Подстановка численных значений констант даёт значение для Вт/(м ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по и приравнять нулю (поиск экстремума):


         \frac{ \mathrm{d} \varphi(\lambda, T)}{\mathrm{d} \lambda} = 
    \frac{
          4 \pi^2 \hbar c^2 
                             \left\{  
                                    \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda}
                                    \mathrm{exp} 
                                        \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} 
                                        \right)
                                    - 5 \left[ 
                                              \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 
                                        \right]
                             \right\}
         }
         {\lambda^6 	\left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1  \right]^2} =0
.

Значение , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим , получится уравнение:


       ~xe^x-5(e^x-1)=0
.

Решение такого уравнения даёт x=4.965. Следовательно , отсюда немедленно получается:


        T \lambda_m = \frac{2 \pi \hbar c}{4.965 k} = b
.

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментом, а также удобную приближенную формулу мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зеленой области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

Литература

  • М. Планк. Об одном улучшении закона излучения Вина. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А.П. Виноградова. Стр.249 (http://dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900/rus.pdf )
  • М. Планк. К теории распределения энергии излучения нормального спектра. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А.П. Виноградова. Стр.251 (http://dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900b/rus.pdf )
  • http://www.vias.org/simulations/simusoft_blackbody.html


Формула Планка.